मान लीजिए vec{a} = hat{i} + hat{j} + sqrt{2}h | vedclass

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Question

(D) $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right)\vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।यह दिया गया है कि यह प

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(D) $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right)\vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।यह दिया गया है कि यह प्रक्षेप सदिश $\vec{a}$ है,इसलिए $\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = 1$,जिसका अर्थ है $\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 1 + 2 = 4$.अब,$\vec{b} \cdot \vec{a} = (b_{1}\hat{i} + b_{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = b_{1} + b_{2} + 2$.दोनों की तुलना करने पर,$b_{1} + b_{2} + 2 = 4$,इसलिए $b_{1} + b_{2} = 2$ .....$(1)$.यह दिया गया है कि $(\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{c}$,इसलिए $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.$\vec{a} + \vec{b} = (1 + b_{1})\hat{i} + (1 + b_{2})\hat{j} + 2\sqrt{2}\hat{k}$.$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (1 + b_{1})(5) + (1 + b_{2})(1) + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 0$.$5 + 5b_{1} + 1 + b_{2} + 4 = 0 \Rightarrow 5b_{1} + b_{2} = -10$ .....$(2)$.समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4b_{1} = -12 \Rightarrow b_{1} = -3$.$b_{1} = -3$ को $(1)$ में रखने पर: $-3 + b_{2} = 2 \Rightarrow b_{2} = 5$.अतः,$\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$.$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 25 + 2} = \sqrt{36} = 6$.

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$\overline{AB}$ का $\overline{CD}$ पर सदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिए,जहाँ $A \equiv(2,-3,0), B \equiv(1,-4,-2), C \equiv(4,6,8)$ और $D \equiv(7,0,10)$ है।

यदि $a(\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) + b(\vec{\beta} \times \vec{\gamma}) + c(\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}) = \overrightarrow{0}$, जहाँ $a, b, c$ अशून्य अदिश हैं, तो सदिश $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ हैं

$\overline{AB}$ का $\overline{CD}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए,जहाँ $A \equiv (2, -3, 0)$,$B \equiv (1, -4, -2)$,$C \equiv (4, 6, 8)$ और $D \equiv (7, 0, 10)$ है।

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